Le parallélogramme : propriétés et méthodes de raisonnement
Attendus du programme (cycle 4 – Espace et géométrie)
- Connaître et utiliser la définition et les propriétés du parallélogramme (côtés, diagonales, angles, centre de symétrie).
- Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme en choisissant une propriété adaptée.
- Connaître les propriétés du rectangle, du losange et du carré et savoir les caractériser.
- Mettre en œuvre un raisonnement déductif : distinguer les données, la propriété utilisée et la conclusion ; rédiger une démonstration courte.
- Distinguer une propriété de sa réciproque ; utiliser un contre-exemple pour prouver qu’une affirmation est fausse.
1. Définition
Définition. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Attention à l’ordre des lettres : on nomme un quadrilatère en suivant ses sommets dans l’ordre du contour. Dans ABCD, les côtés opposés sont [AB] et [CD], puis [AD] et [BC] ; les diagonales sont [AC] et [BD].
2. Propriétés du parallélogramme
Ces propriétés s’utilisent quand on sait déjà que le quadrilatère est un parallélogramme. Elles commencent toutes par « Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors… ».
P1 – Côtés. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur.
P2 – Diagonales. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
P3 – Angles. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont la même mesure, et deux angles consécutifs ont une somme de 180°.
P4 – Symétrie. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors le point d’intersection de ses diagonales est son centre de symétrie.
Exemple. ABCD est un parallélogramme avec AB = 7 cm et BC = 4 cm.
D’après P1, CD = AB = 7 cm et AD = BC = 4 cm. Son périmètre vaut 7 + 4 + 7 + 4 = 22 cm.
Exemple. EFGH est un parallélogramme avec l’angle E = 65°.
D’après P3, G = 65° (angle opposé) et F = H = 180° − 65° = 115° (angles consécutifs).
3. Reconnaître un parallélogramme
Ici, c’est l’inverse : on veut prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme. On utilise des propriétés qui se terminent par « …alors c’est un parallélogramme ». Ce sont les réciproques des propriétés précédentes.
| Si un quadrilatère… | alors… |
|---|---|
| R1 – a ses côtés opposés parallèles deux à deux (définition) | c’est un parallélogramme. |
| R2 – a ses diagonales qui se coupent en leur milieu | |
| R3 – est non croisé et a ses côtés opposés de même longueur deux à deux | |
| R4 – est non croisé et a deux côtés opposés parallèles et de même longueur |
Pourquoi « non croisé » ? Un quadrilatère croisé (en forme de nœud papillon) peut avoir ses côtés opposés de même longueur sans être un parallélogramme. Pour R2, ce n’est pas nécessaire.
4. Les parallélogrammes particuliers
| Figure | Propriétés en plus de celles du parallélogramme | Pour le prouver, il suffit qu’un parallélogramme ait… |
|---|---|---|
| Rectangle | 4 angles droits ; diagonales de même longueur | un angle droit ou des diagonales de même longueur |
| Losange | 4 côtés de même longueur ; diagonales perpendiculaires | deux côtés consécutifs de même longueur ou des diagonales perpendiculaires |
| Carré | toutes les propriétés du rectangle et du losange | une propriété du rectangle et une propriété du losange |
Un carré est à la fois un rectangle et un losange. Un rectangle et un losange sont toujours des parallélogrammes : toutes les propriétés du parallélogramme s’appliquent à eux.
5. Méthodes de raisonnement
Méthode 1 – Rédiger une démonstration en trois temps
Une démonstration est une chaîne de déductions. Chaque déduction a toujours la même structure :
| Étape | Ce que j’écris | Rôle |
|---|---|---|
| Données | « On sait que… » | Ce que l’énoncé ou une étape précédente affirme (jamais ce que l’on « voit » sur le dessin). |
| Propriété | « Or, si…, alors… » | La règle du cours qui relie les données à la conclusion. |
| Conclusion | « Donc… » | Ce que l’on a prouvé ; elle peut devenir une donnée pour l’étape suivante. |
Contrôle : la partie « si… » de la propriété doit correspondre exactement aux données, et la partie « alors… » à la conclusion.
Méthode 2 – Utiliser un parallélogramme (propriété directe)
Énoncé. RSTU est un parallélogramme de centre O avec RT = 9 cm. Calculer OR.
On sait que RSTU est un parallélogramme de centre O.
Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
Donc O est le milieu de [RT] et OR = 9 ÷ 2 = 4,5 cm.
Méthode 3 – Prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme
On cherche dans l’énoncé quelles informations on possède (parallélisme ? longueurs ? milieux ?), puis on choisit la propriété R1, R2, R3 ou R4 dont le « si… » correspond.
Énoncé. I est le milieu de [KM] et de [LN]. Démontrer que KLMN est un parallélogramme.
On sait que I est à la fois le milieu de [KM] et de [LN], qui sont les diagonales de KLMN.
Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme.
Donc KLMN est un parallélogramme.
Méthode 4 – Enchaîner deux déductions
Énoncé. Dans le quadrilatère ABCD, les diagonales se coupent en leur milieu O et AC = BD. Quelle est la nature de ABCD ?
Étape 1. On sait que les diagonales de ABCD se coupent en leur milieu. Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme. Donc ABCD est un parallélogramme.
Étape 2. On sait que ABCD est un parallélogramme (étape 1) et que ses diagonales ont la même longueur. Or, si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle. Donc ABCD est un rectangle.
Méthode 5 – Prouver qu’une affirmation est fausse : le contre-exemple
Pour prouver qu’une affirmation générale est fausse, un seul exemple qui ne la vérifie pas suffit. En revanche, des exemples qui marchent ne prouvent jamais qu’une affirmation est vraie.
Affirmation. « Un quadrilatère qui a deux côtés opposés de même longueur est un parallélogramme. »
Ce trapèze est un contre-exemple : l’affirmation est fausse. (La propriété R4 exige en plus que ces côtés soient parallèles.)
Les pièges à éviter
- Se fier au dessin : « ça a l’air parallèle » n’est pas une preuve. Seules les données de l’énoncé comptent.
- Confondre une propriété et sa réciproque : pour utiliser un parallélogramme, on prend P1 à P4 ; pour le prouver, on prend R1 à R4.
- Utiliser la conclusion comme donnée : on ne peut pas écrire « ABCD est un parallélogramme » avant de l’avoir démontré.
- Oublier « non croisé » avec R3 et R4.
- Conclure « rectangle » ou « losange » sans avoir d’abord établi que c’est un parallélogramme.
6. Exercices corrigés
Cherche chaque exercice sur ton cahier avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 – Longueurs et périmètre
ABCD est un parallélogramme avec AB = 72 cm et BC = 52 cm. Donne CD et AD, puis calcule le périmètre de ABCD.
Voir la correction
ABCD est un parallélogramme ; or les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur. Donc CD = AB = 72 cm et AD = BC = 52 cm.
Périmètre = 2 × (72 + 52) = 2 × 122 = 2 × 6 = 12 cm.
Exercice 2 – Angles
EFGH est un parallélogramme et l’angle EFG mesure 72°. Calcule les mesures des trois autres angles en justifiant.
Voir la correction
Dans un parallélogramme, les angles opposés ont la même mesure : GHE = EFG = 72°.
Deux angles consécutifs ont une somme de 180° : FGH = 180° − 72° = 108°, et HEF = 108° (opposé à FGH).
Vérification : 72 + 108 + 72 + 108 = 360°.
Exercice 3 – Diagonales
MNPQ est un parallélogramme de centre O. On donne MP = 10 cm et NQ = 7 cm. Calcule OM, OP, ON et OQ.
Voir la correction
On sait que MNPQ est un parallélogramme de centre O. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Donc O est le milieu de [MP] et de [NQ].
OM = OP = 10 ÷ 2 = 5 cm et ON = OQ = 7 ÷ 2 = 3,5 cm.
Exercice 4 – Choisir la bonne propriété
Pour chaque cas, dis si on peut conclure que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme, et cite la propriété utilisée.
a) (AB) // (CD) et (AD) // (BC).
b) Les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu.
c) (AB) // (CD) et AD = BC.
Voir la correction
a) Oui, par la définition : côtés opposés parallèles deux à deux.
b) Oui : si les diagonales se coupent en leur milieu, c’est un parallélogramme.
c) Non : le parallélisme et l’égalité de longueur ne portent pas sur la même paire de côtés. Un trapèze isocèle vérifie ces conditions sans être un parallélogramme.
Exercice 5 – Démontrer avec les longueurs
RSTU est un quadrilatère non croisé tel que RS = 6 cm, ST = 4 cm, TU = 6 cm et UR = 4 cm. Démontre que RSTU est un parallélogramme.
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On sait que RSTU est non croisé, RS = TU = 6 cm et ST = UR = 4 cm : ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux.
Or, si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur deux à deux, alors c’est un parallélogramme.
Donc RSTU est un parallélogramme.
Exercice 6 – Symétrie centrale
A, B et C sont trois points non alignés. I est le milieu de [AC]. D est le symétrique de B par rapport à I. Démontre que ABCD est un parallélogramme.
Voir la correction
D est le symétrique de B par rapport à I, donc I est le milieu de [BD].
On sait que I est le milieu de [AC] et de [BD], diagonales de ABCD.
Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme.
Donc ABCD est un parallélogramme.
Exercice 7 – Rectangle
EFGH est un parallélogramme tel que EG = 8 cm et FH = 8 cm. Quelle est la nature de EFGH ? Justifie.
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On sait que EFGH est un parallélogramme et que ses diagonales [EG] et [FH] ont la même longueur (8 cm).
Or, si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.
Donc EFGH est un rectangle.
Exercice 8 – Losange
Les diagonales du quadrilatère KLMN se coupent en leur milieu O et sont perpendiculaires. Démontre que KLMN est un losange, en deux étapes.
Voir la correction
Étape 1. On sait que les diagonales de KLMN se coupent en leur milieu. Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme. Donc KLMN est un parallélogramme.
Étape 2. On sait que KLMN est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires. Or, si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange. Donc KLMN est un losange.
Exercice 9 – Trouver l’erreur
Léo a écrit : « On sait que ABCD est un rectangle. Or, si un quadrilatère a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle. Donc AC = BD. » Explique son erreur et corrige la rédaction.
Voir la correction
Léo a utilisé la réciproque au lieu de la propriété directe : sa propriété conclut « c’est un rectangle », alors qu’il veut conclure sur les diagonales. De plus, cette phrase est fausse pour un quadrilatère quelconque (un trapèze isocèle a des diagonales de même longueur).
Rédaction correcte : On sait que ABCD est un rectangle. Or, si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont la même longueur. Donc AC = BD.
Exercice 10 – Défi : vrai ou faux ?
Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux. Si elle est fausse, donne un contre-exemple.
a) Tout carré est un losange.
b) Un quadrilatère qui a ses diagonales perpendiculaires est un losange.
c) Un parallélogramme qui a un angle droit et deux côtés consécutifs de même longueur est un carré.
Voir la correction
a) Vrai : un carré a ses quatre côtés de même longueur.
b) Faux. Contre-exemple : un « cerf-volant » dont les diagonales sont perpendiculaires mais ne se coupent pas en leur milieu (par exemple diagonales de 6 cm et 4 cm, la plus courte coupant la plus longue à 1 cm de l’une de ses extrémités). Il faut d’abord un parallélogramme.
c) Vrai : avec un angle droit, ce parallélogramme est un rectangle ; avec deux côtés consécutifs égaux, c’est un losange. Étant à la fois rectangle et losange, c’est un carré.
7. Quiz autonoté
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